有趣的数学逻辑-读《超越无穷大》有感900字

《超越无穷大》的作者是尤金妮娅·程。她是谢菲尔德大学数学领域的荣誉研究员，她的人生目标是让世界摆脱对于数学的恐惧。本书釆用平实易懂的语言描述数学的逻辑。

本书以希尔勃特旅馆悖论切入：假设你有一个吴强多单间的旅馆，并且已经注满了人，这时又来了一个人，请问这个人有没有地方住？答案是有的，我们可以让1号房间的人搬到2号房间，2号房间的人搬到3号房间，……n号房间人搬到n+1号房间。这样1号房间就空出来了，新来的人可以住。这看起来是个悖论，但论证过程没有丝毫的漏洞，唯一的问题就是与我们的直觉不符。我们过于习惯与思考有限的旅馆了。接下来作者证明了，无限大不是自然数。无穷的定义是无穷+1等于无穷，无穷＋无穷等于无穷，无穷×一个自然数还是无穷。而自然数满足：在等式两边同时±同一个自然数等式仍然成立。显然，若无穷大为自然数，∞+1等于∞同时减去∞会变成一等于零，所以会出错。所以无穷大不是一个自然数。接下来作者证明了，实数是不可数的。作者用了一个格奥尔格·康托尔提出一个聪明的技巧，就是康托尔对角线论证。假设有一个旅馆这个旅馆要零到一这个区间内所有实数相对应的房间。而且我们不能按照房间号的大小顺序，让客人住进新的房间即让原本住在最小的小数号房间的客人入住1号房间，然后以此类推。这不行，因为就像没有最大的数字一样，并不存在最小的小数。下面作者给出了康托尔对角线论证的工作原理。第一步到第1号房间问这位客人原本的小数房间号小数点后第一位，然后把第一位+1。第二步去2号房间问这位客人原本小数房间号的第二位数字，并+1。第三步去3号房间问这位客人原本的小数房间号的第三位数字+1。并且以此类推。问题出现了曾经住在我们通过加一构造的这个小数房间的人去哪儿了？这位客人被转移到了哪个编号为自然数的房间？这个人不可能在1号2号3号4号5号或者任意n号房间。综上所述实数是不可数的，但是有理数是可数的，所以无理数是不可数的。

作者还论证了，可以让无数双鞋子整齐排列并且让每只鞋子匹配到一个自然数。可以让n号的左鞋子来放在2n-1的位置上。把n号的右鞋子放到位置2n的位置上。但是袜子不能这样做，我们有无数双袜子，我们把他们和鞋子一样排成一排。但是，我们遇到一个问题并不存在左袜子和右袜子这样的说法，因为左脚的袜子和右脚的袜子看起来是一样的，我们并不能够指定哪只排在前面，因为此时产生了决策疲劳的问题，无论是小的决定还是大的原因都会让人疲劳。做出无穷次选择是否可行，这个问题在数学上还没有得到明确的解决，当前它被称为选择公理。

《超越无穷大》十分有趣并且数学零基础的人也可以理解并接受。我推荐大家读这本书。